Bootstrap 失效的一个例子

假设 独立同分布, 服从 上的均匀分布. 则其似然函数为

由于 关于 单调递减, 故 的极大似然估计为 . 对一次观测 , 观测值为 , 这 个观测值决定的经验分布函数记为 . 考虑非参数重采样, 即随机变量 独立同分布, 服从经验分布 . 我们想要估计 , 其分布为

故其极限分布为标准指数分布. 按照一般的非参数重采样方法, 我们取 , 其中 即在这组样本下的估计值, 是 个自助法样本的最大值. 然而

因此 的极限分布不可能是标准指数分布, 从而自助法不适用.

这个例子来自 Davison, A. C., & Hinkley, D. V. (1997). Bootstrap methods and their application (Vol. 1). Cambridge university press. p. 39. 保证自助法有效的条件比较 technical, 可参考该书 pp. 38-39, 或者其他相关书籍.